Cực trị của hàm số là gì? Lý thuyết & phân dạng bài tập 2023

Cực trị của hàm số là gì ? Đây là một phần lý thuyết rất hay cũng rất rất cần thiết cho bạn. Khác nhau nó sẽ có mặt trong bài thi trung học phổ thông quốc gia của bạn. Vì vậy trải nghiệm bạn cần nắm bắt kiến thức để giải quyết được những câu đơn giản và những câu khó

XEM THÊM: Thuyết minh về một danh lam thắng cảnh hay nhất 2023

Hãy cùng chúng tôi theo dõi nội dung bài viết này, nó sẽ mang tới giá trị nhất lớn cho bạn đấy !

1. Cực trị của hàm số là gì

Giả sử hàm số f xác định trên K (K ⊂ ℝ) và x0 ∈ K

a) x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) < f(x0), ∀ x ∈ (a;b) {x0}

→ Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.

b) x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), ∀ x ∈ (a;b) {x0}

→ Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Lý thuyết cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh nhưng hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Đây là khái niệm cơ phiên bản về cực trị hàm số.

Định nghĩa

Giả sử hàm số f được định nghĩa trên tập K (K ⊂ ℝ) và x0 thuộc K.

a) Giá trị x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K mà trong đó x0 nằm và f(x) < f(x0) với mọi x thuộc (a;b) {x0}.

→ Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.

b) Giá trị x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K mà trong đó x0 nằm và f(x) > f(x0) với mọi x thuộc (a;b) {x0}.

→ Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Chú ý:

1. Điểm cực đại (cực tiểu) x0 thường được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) của hàm số thường được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.
2. Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) không nhất thiết phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập K; f(x0) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) chứa x0.
3. Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

Để mắt tới:

1) Điểm cực đại (cực tiểu) x0 được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) của hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.

2) Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập K; f(x0) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) chứa x0.

3) Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

2. Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị

1. Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Định lý 1:

f(x) đạt cực trị tại x0 có đạo hàm tại x0 thì f‘(x0) = 0

Lưu ý: 

+)  Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0.

+) Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm nhưng tại đó hàm số không có đạo hàm.

XEM THÊM: Tất tần tật về đáp án game Đuổi hình bắt chữ mới nhất hiện nay!

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý 2: 

 – Theo lý thuyết: 

– Minh họa dễ hiểu qua bảng:

a) Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.

b) Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại x0.

Định lý 3:

– Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x0, f’(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp nhị khác 0 tại điểm x0.

a) Nếu f’’(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.

b) Nếu f’’(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.

c) Nếu f’’(x0) = 0 thì ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.

Quy tắc tìm cực trị  hàm số

Quy tắc I:

+) Bước 1: Tìm tập xác định.
+) Bước 2: Tính y’ = f’(x). Tìm x khi f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
+) Bước 3: Tính các giới hạn cần thiết.
+) Bước 4: Lập bảng biến thiên.
+) Bước 5: Kết luận các điểm cực trị.

Quy tắc II

+) Bước 1: Tìm tập xác định.
+) Bước 2: Tính y’ = f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 để tìm các nghiệm x1, x2,… (nếu có) của nó.
+) Bước 3: Tính f’’(x) và suy ra f’’(x1), f’’(x2),…
+) Bước 4: Dựa dẫm dấu f’’(x1), f’’(x2),… để kết luận.

Ví dụ minh họa cụ thể cách tìm cực trị cho hàm số

Ví dụ 1: Tìm điểm cực đại x0 của hàm số y = x3 – 3x +1.

• A. x0 = 2
• B. x0 = 1
• C. x0 = -1
• D. x0 = 3

– Hướng dẫn giải:

+) Bước 1: Tìm tập xác định.

• Tập xác định: D = ℝ.

+) Bước 2: Tính đạo hàm

• Đạo hàm: y’ = 3x² – 3

===> Bước 3: Tính các giới hạn cần thiết.

   +) Bước 4: Lập bảng biến thiên.

==>  Dựa dẫm bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x0 = -1.

Lưu ý: Chúng tôi chỉ vạch bước để bạn nắm bắt được từng bước rõ ràng để xác định cực trị cho bài toán. Trong quá trình trình bày, bạn không cần phải ghi rõ các bước 1 cần làm gì, bước 2 cần làm gì nhưng thực hiện luôn.

XEM THÊM: Ngứa tai Trái, tai Phải ở Nữ và Nam theo giờ Tốt hay Xấu

Hy vọng bài viết này sẽ mang tới cho bạn những nội dung lôi cuốn và hữu ích cho việc làm bài tập với những câu hỏi liên quan. Cám ơn bạn đã theo dõi bài viết này, hẹn gặp lại bạn ở những bài viết tiếp theo !